অধ্যায় ৬ষ্ঠঃ জ্যামিতির মৌলিক ধারণা | অনুশীলনী ৬.২ | ষষ্ঠ শ্রেণি

অধ্যায় ৬ষ্ঠঃ জ্যামিতির মৌলিক ধারণা | ৬ষ্ঠ শ্রেণি গণিত বই সম্পূর্ণ সমাধান | Class Six (06) Math Book Solution | Chapter 06 : Basic concepts of geometry | Online Solution

অধ্যায় ৬ষ্ঠঃ জ্যামিতির মৌলিক ধারণা | অনুশীলনী ৬.২ : ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ

অধ্যায় ৬ষ্ঠঃ জ্যামিতির মৌলিক ধারণা | অনুশীলনী ৬.২ এর সকল প্রশ্ন ও উত্তর এখানে রয়েছে। ৬ষ্ঠ শ্রেণি সম্পূর্ণ গণিত বই সমাধান

৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিত ৬ষ্ঠ অধ্যায় অনুশীলনী ৬.২ প্রশ্ন ও সমাধান

১. শূন্যস্থান পূরণ করঃ

(ক) সমকোণের পরিমাপ……….।
উত্তরঃ ৯০^০।
(খ) সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ সমকোণের পরিমাপ অপেক্ষা…….।
উত্তরঃ কম।
(গ) স্থুলকোণের পরিমাপ সমকোণের পরিমাপ্পপেক্ষা………।
উত্তরঃ বেশি।
(ঘ) সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ……….. এবং অপর কোণ……….।
উত্তরঃ সমকোণ, সূক্ষ্মকোণ।
(ঙ) …….. ত্রিভুজের…….স্থুলকোণ এবং……সূক্ষ্মকোণ থাকে।
উত্তরঃ স্থুলকোণী, একটি, দুইটি।
(চ) যে ত্রিভুজে প্রত্যেক কোণের পরিমাপ……..থেকে কম সেটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
উত্তরঃ ৯০^০।

২. ইউক্লিড কোন দেশের পন্ডিত ছিলেন?

(ক) ইতালি   (খ) জার্মানি
(গ) গ্রিস      (ঘ) স্পেন
উত্তরঃ গ

৩. জ্যামিতি প্রতি পাদ্যের ওপর লিখিত ইউক্লিডের বইটির নাম কি?

(ক) Algebra     (খ) Elements
(গ) Geometry   (ঘ) Mathematic
উত্তরঃ খ

৪. খ্রিষ্টপূর্ব কত অব্দে গ্রিক পন্ডিত ইউক্লিড তার Elements পুস্তকে জ্যামিতিক প্পরিমাপ পদ্ধতির সংজ্ঞা ও প্রক্রিয়া সমূহ লিপিবদ্ধ করেন?

(ক) ৩০০    (খ) ৪০০   (গ) ৫০০    (ঘ) ৬০০
উত্তরঃ ক

৫. নিচের কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো; কোণগুলো আঁক।

(ক) 30⁰   (খ) 45⁰   (গ) 60⁰    (ঘ) 75⁰

(ঙ) 85⁰   (চ) 120⁰  (ছ) 135⁰   (জ) 160⁰

সমাধানঃ

অঙ্কনের বিবরনঃ

(ক) 30⁰  

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 30 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 30⁰ ।

(খ) 45⁰  

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 45 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 45⁰ ।

(গ) 60⁰   

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 60 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 60⁰ ।

(ঘ) 75⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 75 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 75⁰ ।

 (ঙ) 85⁰  

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 85 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 85⁰ ।

 (চ) 120⁰ 

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 120 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 120⁰ ।

 (ছ) 135⁰   

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 135 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 135⁰ ।

 (জ) 160⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 160 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 160⁰ ।

৬. অনুমান করে একটি সূক্ষ্মকোণী, একটি স্থুলকোণী ও একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক।

(ক) প্রতিক্ষেত্রে বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য মাপ এবং খাতায় লেখ।
(খ) প্রতিক্ষেত্রে কোণ তিনটি পরিমাপ কর এবং খাতায় লেখা দেখে কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল সবক্ষেত্রে একই বলে মনে হয় কিনা বল।

সমাধানঃ

অনুমান করে একটি সূক্ষ্মকোণী, একটি স্থুলকোণী ও একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হলোঃ

(ক) রুলারের সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মাপা হলো।

ABC ত্রিভুজের AB বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন AB বাহুর B বিন্দু রুলারের 0 নির্দেশিত বিন্দুর সাথে মিলে। এখন AB বাহুর A বিন্দু রুলারের 3.9 সেমি নির্দেশিত বিন্দুতে পড়ে।
সুতরাং, AB=3.9 সেমি।
একইভাবে BC ও AC বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করলে
BC=4 সেমি এবং AC=4 সেমি পাওয়া যায়।
আনুরুপভাবে, DEF ত্রিভুজ এবং GHK ত্রিভুজ এর ক্ষেত্রে পাই,
DE=4.3 সেমি, EF=3.9 সেমি, DF=6.8 সেমি, GH=4 সেমি, HK=4 সেমি, KG=5.6 সেমি। 

(খ) চাঁদার সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের কোণগুলো পরিমাপ করা হলো। ABC ত্রিভুজের ∠ABC এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি। লক্ষ্য করি যেন BC রেখার সাথে চাঁদার 0 বিন্দুগামী ব্যাস মিলে যায়। এখন BA রেখা চাঁদার 60 নির্দেশিত রেখায় পড়ে। সুতরাং, ∠ABC=60⁰।

একইভাবে, ∠BAC ও ∠ACB পরিমাপ করলে যথাক্রমে 65⁰ ও 55⁰ পাওয়া যায়।
সুতরাং, ∠ABC=60⁰,  ∠BAC=65⁰,   ∠ACB=55⁰
এখন, ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল=∠ABC+∠BAC+∠ACB=60⁰+65⁰+55⁰=180⁰
অনুরুপভাবে, DEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠EDF=33⁰, ∠DFE=35⁰, ∠DEF=112⁰
এবং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল=∠EDF+∠DFE+∠DEF=33⁰+35⁰+112⁰=180⁰
আবার, GHK ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠GHK=90⁰, ∠HGK=45⁰, ∠GKH=45⁰
এবং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল=∠GHK+∠HGK+∠GKH=90⁰+45⁰+45⁰=180⁰
সুতরাং ত্রিভুজ তিনটির কোণগুলোর পরিমাপের যোগফল থেকে দেখা যায় সবক্ষেত্রে একই এবং তা 180⁰।

৭. নিচে কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো। প্রত্যেক ক্ষেত্রে পূরক কোণের পরিমাপ উল্লেখ কর এবং পূরক কোণটি আঁক।

(ক) 60⁰ (খ) 45⁰ (গ) 72⁰ (ঘ) 25⁰ (ঙ) 50⁰

সমাধানঃ

পূরক কোণের পরিমাপ নির্ণয়ঃ
আমরা জানি, দুইটি দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 90⁰ হলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
সুতরাং,
(ক) 60⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-60⁰=30⁰
(খ) 45⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-45⁰=45⁰
(গ) 72⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-72⁰=18⁰
(ঘ) 25⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-25⁰=65⁰
(ঙ) 50⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-50⁰=40⁰

পূরক কোন অঙ্কনঃ

(ক) 60⁰ এর পূরক কোণ 30⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 30 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 30⁰ ।

(খ) 45⁰ এর পূরক কোণ 45⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 45 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 45⁰ ।

(গ) 72⁰ এর পূরক কোণ 18⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 18 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 18⁰ ।

(ঘ) 25⁰ এর পূরক কোণ 65⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 65 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 65⁰ ।

(ঙ) 50⁰ এর পূরক কোণ = 90^°– 50^°= 40^°

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 50⁰ নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 50⁰ ।

৮. নিচের কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো। প্রত্যেক ক্ষেত্রে একই চিত্রে প্রদত্ত কোণ, এর সম্পূরক কোণ ও বিপ্রতীপ কোণ আঁক এবং এদের পরিমাপ উল্লেখ কর। চিত্রে সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণটিও চিহ্নিত কর।

(ক) 45⁰  (খ) 120⁰   (গ) 72⁰  (ঘ) 110⁰   (ঙ) 85⁰

সমাধান : আমরা জানি, দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।
(ক) ৪৫°

চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = ৪৫°
এক্ষেত্রে ৪৫° কোণের সম্পূরক ∠ABD কোণের পরিমাপ
= (১৮০° – ৪৫°) = ১৩৫°
∴৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ, ∠ABD = ১৩৫° এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = ৪৫°
চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = ১৩৫°

(খ) ১২০°

চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = ১২০°
এক্ষেত্রে ১২০° কোণের সম্পূরক কোণ,
∠ABD = (১৮০° – ১২০°) = ৬০°
এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = ১২০°
চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = ৬০°

(গ) ৭২°

চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = ৭২°
এক্ষেত্রে ৭২° কোণের সম্পূরক কোণ,
∠ABD = (১৮০° – ৭২°) = ১০৮°
এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = ৭২°
চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = ১০৮°

(ঘ) ১১০°

চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = ১১০°
এক্ষেত্রে ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ,
∠ABD = (১৮০° – ১১০°) = ৭০°
এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = ১১০°
চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = ৭০°

(ঙ) ৮৫°

চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = ৮৫°
এক্ষেত্রে ৮৫° কোণের সম্পূরক কোণ
∠ABD = (১৮০° – ৮৫°) = ৯৫°
এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = ৮৫°
চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = ৯৫°

৯.  

চিত্রে, ∠AOB=90⁰

i.. ∠AOC+∠BOC=90⁰
ii.. ∠AOC+∠BOC=∠AOB
iii.. ∠AOC ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ।

নিচের কোণটি সঠিক?

(ক) i ও ii     (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

চিত্রে, △ABC এর ∠BAC=120⁰ এবং AD⊥BC

চিত্রের আলোকে ১০-১২ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

১০. ∠ADC=কত?

(ক) 30⁰   (খ) 45⁰
(গ) 60⁰    (ঘ) 90⁰
উত্তরঃ ঘ

১১. ∠ABD=এর পূরক কোণ কোণটি?

(ক) ∠ADB      (খ) ∠CAD
(গ) ∠BAD      (ঘ) ∠ACD
উত্তরঃ গ

১২. সরল রৈখিক কোণ নিচের কোণটি?

(ক) ∠ADB      (খ) ∠CAD
(গ) ∠ACD      (ঘ) ∠BDC
উত্তরঃ ঘ

১৩. রেখার—

i.. নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

ii.. নির্দিষ্ট অরান্ত বিন্দু নেই 
iii.. নির্দিষ্ট প্রস্থ নেই

নিচের কোণটি সঠিক?

(ক) i ও ii     (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ

১৪. কয়েকটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক। প্রতিক্ষেত্রে সমকোণ ছাড়া অন্য দুইটি কোণ মাপ এবং এদের পরিমাপের যোগফল নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B=এক সমকোণ=90⁰, DEF সমকোণী ত্রিভুজের ∠E=এক সমকোণ=90⁰ এবং PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q=এক সমকোণ=90⁰।
এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজের C বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন, BC রেখার সাথে চাঁদার 0 নির্দেশিত রেখা মিলে যায়। এখন CA রেখা চাঁদার 45° অঙ্কিত রেখায় পড়ে। সুতরাং, ∠ACB=45⁰।
একইভাবে, ∠BAC পরিমাপ করলে 45⁰ পাওয়া যায়।
∴ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি
∠ABC+∠BAC+∠ACB=90⁰+45⁰⁺45⁰=180⁰।
অনুরূপভাবে, DEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পাই,
∠DFE=41⁰
∠EDF=49⁰
∴DEF ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি
∠DEF+∠DFE+∠EDF=90⁰+41⁰⁺49⁰=180⁰।
অনুরূপভাবে, PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পাই,
∠QRP=52⁰
∠QPR=38⁰
∴PQR ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি
∠PQR+∠QRP+∠QPR=90⁰+52⁰⁺38⁰=180⁰।

১৫. একটি চতুর্ভুজ আঁক। এর বাহু চারটির এবং কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ। চতুর্ভুজটির কোণ চারটি মেপে তাদের পরিমাপের যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ABCD চতুর্ভুজটি আঁকা হলো। AB, BC, CD ও AD উহার চারটি বাহু এবং AC ও BD উহার দুইটি কর্ণ। ABCD চতুর্ভুজের AB বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করি। লক্ষ্য করি যেন, AB বাহুর A বিন্দু রুলারের 0 নির্দেশিত বিন্দুর সাথে মিলে। এখন AB বাহুর B বিন্দু রুলারের 3.7 সেমি অঙ্কিত দাগে পড়ে। সুতরাং AB বাহুর দৈর্ঘ্য=3.7 সেমি।

একইভাবে BC, CD ও AD বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করলে যথাক্রমে 4 সেমি, 2.5 সেমি, ও 3 সেমি পাওয়া যায়।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজের বাহু চারটির দৈর্ঘ,
AB=3.7 সেমি, BC=4 সেমি, CD=2.5 সেমি এবং AD=3 সেমি।
আবার, ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ মেপে পাই,
AC=5 সেমি ও BD=4.3 সেমি।
এখন, ABCD চতুর্ভুজের ∠ABC এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই, ∠ABC=78⁰।
একইভাবে,
∠BCD=79⁰,  ∠ADC=125⁰,  ∠BAD=78⁰।

∠ABC = 78°, ∠BCD = 79°, ∠CDA =125° এবং ∠DAB = 78°
কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল=78^০+79^০+125^০+78^০=360^০।

১৬. অনুমান করে দুইটি চতুর্ভুজ আঁক যাদের কোনো দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান নয়।

(ক) প্রতিক্ষেত্রে বাহু চারটির এবং কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ ও খাতায় লেখ।

(খ) কোণ চারটি পরিমাপ কর এবং খাতায় লেখা কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল উভয় ক্ষেত্রে একই কিনা বল।

সমাধানঃ

(ক) চিত্র-১ এ ABCD একটি চতুর্ভুজ অনুমান করে আঁকা হলো যার চারটি বাহু যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD এবং কর্ণ AC ও BD।
স্কেল দিয়ে মেপে পাওয়া গেল,
AB = ২ সে.মি., BC = ৪ সে.মি., CD = ৩ সে.মি., AD = ৩.৫ সে.মি. এবং কর্ণ AC = ৫ সে.মি. ও কর্ণ BD = ৪.৮ সে.মি.।

আবার, চিত্র-২ এ EFGH আরেকটি চতুর্ভুজ অনুমান করে আঁকা হলো, যার চারটি বাহু যথাক্রমে EF,FG, GH ও EH এবং কর্ণ FH ও EG। স্কেল দিয়ে মেপে পাওয়া গেল,
EF = ৩.৪ সে.মি., FG = ৫ সে.মি., GH = ২.৮ সে.মি., EH = ৩.১ সে.মি. এবং কর্ণ EG = ৫.২ সে.মি. ও কর্ণ FH = ৪.৬ সে.মি.।

(খ) চাঁদা দিয়ে পরিমাপ করে পাওয়া গেল,
ABCD চতুর্ভুজে,
∠ABC = ১১০°, ∠BCD = ৬৭°, ∠CDA = ৯৮°
এবং ∠DAB = ৮৫°
এখন, ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB
= ১১০° + ৬৭° + ৯৮° + ৮৫° = ৩৬০°

EFGH চতুর্ভুজে,
∠EFG = ৮৫°, ∠FGH = ৭২°, ∠GHE = ১২৫° এবং ∠HEF = ৭৮°
এখন, ∠EFG + ∠FGH + ∠GHE + ∠HEF
= ৮৫°+ ৭২° + ১২৫° + ৭৮° = ৩৬০°

অতএব, আমরা পাই উভয় চতুর্ভুজের কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজ ও EFGH চতুর্ভুজ দুইটির কোণগুলোর পরিমাপের যোগফল উভয় ক্ষেত্রে ৩৬০° অর্থাৎ সমান।

১৭.  অনুমান করে একটি বর্গ আঁক যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

(ক) প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য মাপ এবং খাতায় লেখ।

(খ) বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ চিহ্নিত কর। মধ্যবিন্দুগুলো পর্যায়ক্রমে সংযুক্ত কর। উৎপন্ন চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ বলে মনে হয়। এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মাপ এবং কোনগুলো পরিমাপ কর।

সমাধানঃ

(ক) ABCD একটি বর্গ আঁকা হলো যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং AC ও BD এর দুটি কর্ণ।

কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
AC বরাবর স্কেল স্থাপন করি যেন স্কেলের 0 বিন্দু A বিন্দুর সাথে মিলে। এখন C বিন্দুতে রুলারের মাপ পাই 11.3 সেমি। অতএব, AC=11.3 সেমি।
এভাবে, BD=11.3 সেমি।

(খ)

যেহেতু  বর্গটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি, সেহেতু বাহুগুলো সমদ্বিখন্ডিত করলে খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হবে 4 সেমি।
মনে করি, AB , BC , CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F , G ও H।
এখন,  E,F ; G,F ;  G,H; EওH যোগ করি।
ফলে একটি চতুর্ভুজ উৎপন্ন হলো এবং উৎপন্ন চতুর্ভুজটি একটি বর্গ বলে মনে হয়।
EFGH বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
EF বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করে পাই,
EF= 5.6 সেমি।
একইভাবে, FG=5.6 সেমি, GH=5.6 সেমি ও EH=5.6 সেমি।
সুতরাং, EFGH বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 5.6 সেমি।
EFGH বর্গের কোণের পরিমাপ নির্ণয়ঃ
∠EFG এর F বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপণ করি। লক্ষ করি যেন, EF রেখার সাথে চাঁদার 0 অঙ্কিত রেখা মিলে যায়। এখন FG রেখা চাঁদার 90 অঙ্কিত রেখায় পড়ে। সুতরাং ∠EFG=90⁰।
একইভাবে, ∠FGH, ∠GHE, ∠HEF পরিমাপ করে প্রতিক্ষেত্রে 90⁰ পাওয়া যায়।

১৮. অনুমান করে একটি সামন্তরিক আঁক যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবিং পাশের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি। এদের বিপরীত বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ এবং প্রত্যেক জোড়া বিপরীত কোণের পরিমাপ নির্ণয় কর। সামন্তরিকটির কর্ণ দুইটি আঁক। এদের ছেদবিন্দুতে কর্ণদ্বয়ের চারটি খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য মাপ।

সমাধানঃ

অনুমান করে একটি সামন্তরিক ABCD আঁকা হলো যার AB বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি ও AD বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি। DC ও BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

BC বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে পাই, BC =3 সেমি ।
একইভাবে পাই, CD=4 সেমি।
কোণের পরিমাপ নির্ণয়ঃ
∠ABC এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই ∠ABC=110⁰
একইভাবে, ∠ABC এর বিপরীত  ∠ADC=110⁰
অনুরুপভাবে, ∠BAD=70⁰,  ∠BAD এর বিপরীত ∠BCD=70⁰
কর্ণদ্বয়ের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ

সামান্তরিকের কর্ণ দুটি AC = 4.1 সে.মি. এবং BD = 5.8 সে.মি.।
এখানে, কর্ণদ্বয়ের ছেদ বিন্দু O।

যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

কর্ণদ্বয়ের  চারটি খন্ডিতাংশ AO, OC, OB এবং OD এর দৈর্ঘ্য মাপতে হবে।
∴ AO = CO = AC ÷ 2 = (4.1 ÷ 2) সে.মি. = 2.05 সে.মি.
এবং BO = BO = BD ÷ 2 = (5.8 ÷ 2) সে.মি. = 2.9 সে.মি.

১৯. চিত্রে AB II CD এবং  EF II GH

(ক) কারণসহ PQRS চতুর্ভুজটির নাম লেখ।

(খ) চিত্র থেকে চারটি কোণ নিয়ে এদের সম্পূরক কোণ, একান্তর কোণ নির্ণয় কর।
(গ) প্রমান কর যে, ∠APE=∠DRH

সমাধানঃ

(ক) কারণসহ PQRS চতুর্ভুজটির নাম লেখ।
(খ) চিত্র থেকে চারটি কোণ নিয়ে এদের সম্পূরক কোণ, একান্তর কোণ নির্ণয় কর।
(গ) প্রমাণ কর যে, ∠APE = ∠DRH.

সমাধান :
(ক) দেওয়া আছে, AB ॥ CD
∴ PS ॥ QR [∵ PS ও QR রেখাংশদ্বয় যথাক্রমে AB ও CD রেখাদ্বয়ের অংশ বিশেষ]

আবার, EF ॥ GH
∴ PQ ॥ RS [∵ PQ ও RS রেখাংশদ্বয় যথাক্রমে EF ও GH রেখাদ্বয়ের অংশ বিশেষ]

সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে, PQRS চতুর্ভুজটির
বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল।
∴ PQRS একটি সামান্তরিক।

(খ) চিত্র থেকে চারটি কোণ হলো :
∠APQ, ∠QPS, ∠PSR, ∠QRS,
∠APQ এর জন্য :

∠QPE এক সরলকোণ [চিত্রানুসারে]
∴ ∠APQ + ∠APE = সরলকোণ = ১৮০°
বা, ∠APE = ১৮০° – ∠APQ
∴ ∠APQ এর সম্পূরক কোণ ∠APE

আবার, AB ॥ CD এবং EF তাদের ছেদক
∴ ∠APQ = একান্তর ∠PQR
অনুরূপভাবে, ∠QPS এর জন্য :
∠QPE এক সরলকোণ
∴ ∠QPS এর সম্পূরক কোণ ∠EPS

আবার, AB ॥ CD এবং EF তাদের ছেদক
∠QPS = একান্তর ∠PQC
∠PSR এর জন্য :
∠PSB এক সরলকোণ
∴ ∠PSR এর সম্পূরক কোণ ∠BSR

আবার, AB ॥ CD এবং GH তাদের ছেদক।
∴ ∠PSR = একান্তর ∠SRD.
∠QRS এর জন্য :
∠SRH এক সরলকোণ
∴ ∠QRS এর সম্পূরক কোণ ∠QRH
AB ॥ CD এবং GH তাদের ছেদক।
∠QRS = একান্তর ∠RSB.

(গ) প্রমাণ করতে হবে যে, ∠APE = ∠DRH
প্রমাণ : চিত্র হতে, PQRS সামান্তরিকের
∠QPS = ∠QRS (বিপরীত কোণ)
আবার, ∠QPS = বিপ্রতীপ ∠APE
এবং ∠QRS = বিপ্রতীপ ∠DRH
কিন্তু, ∠QPS = ∠QRS
∴ ∠APE = ∠DRH. (প্রমাণিত)

২০. AB ও CD রেখাদ্বয় O বন্দুতে ছেদ করে।

ক. উপরোক্ত তথ্যের ভিত্তিতে একটি চিত্র অঙ্কন কর।

খ. প্রমান কর যে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
গ. ∠AOC=(4x-16^°) এবং ∠BOC=2(x+20^°) হলে x এর মান কত?

সমাধানঃ

(ক)

অঙ্কিত চিত্রঃ

(খ)

মনে করি, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ফলে O বিন্দুতে ∠AOC,  ∠COB,  ∠BOD,  ∠AOD কোণ উৎপন্ন  হয়েছে। প্রমান করতে হবে যে,
∠AOC=বিপ্রতীপ∠BOD এবং ∠COB=বিপ্রতীপ∠AOD।
OA রশ্মির O বিন্দুতে CD রেখা মিলিত হয়েছে।
∴∠AOC+∠AOD=১ সরলকোণ=২ সমকোণ।
আবার, OD রশ্মির O বিন্দুতে AB রেখা মিলিত হয়েছে।
∴∠AOD+∠BOD=১ সরলকোণ=২ সমকোণ।
সুতরাং, ∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD
∴∠AOC=∠BOD
অনুরুপভাবে, ∠COB=∠AOD [প্রমাণিত]

(গ)

দেওয়া আছে, ∠AOC=(4x-16⁰) এবং ∠BOC=2(x+20⁰)
শর্তমতে,
∠AOC+∠BOC=∠AOB
বা, 4x-16⁰+2(x+20⁰)=180⁰
বা, 4x-16⁰+2x+40⁰=180⁰
বা, 6x=180⁰-40⁰+16⁰
বা, 6x=156⁰
বা, x=26⁰