অধ্যায় ৪র্থঃ বীজগণিতীয় রাশি | ৬ষ্ঠ শ্রেণি গণিত বই সম্পূর্ণ সমাধান | Class Six (06) Math Book Solution | Chapter 04 : Algebraic Expressions | Online Solution
অধ্যায় ৪র্থঃ বীজগণিতীয় রাশি | অনুশীলনী ৪.৩ : সদৃশ ও বিসদৃশ পদ ও বীজগণিতীয় রাশিরযোগ বিয়োগ
অধ্যায় ৪র্থঃ বীজগণিতীয় রাশি | অনুশীলনী ৪.৩ এর সকল প্রশ্ন ও উত্তর এখানে রয়েছে। ৬ষ্ঠ শ্রেণি সম্পূর্ণ গণিত বই সমাধান
৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিত ৪র্থ অধ্যায় অনুশীলনী ৪.৩ প্রশ্ন ও সমাধান
১. 5x+3y রাশিটিতে x এর সহগ নিচের কোনটি?
(ক) 8 (খ) 5x
(গ) 3y (ঘ) 5
উত্তরঃ ঘ
২. x এর তিনগুণ এবং y এর দ্বিগুণের সমষ্টি নিচের কোনটি?
(ক) y+3x (খ) 3x+2y
(গ) x+2y (ঘ) 2x+3y
উত্তরঃ খ
৩. 7x3✕x2 এ এর সূচক নিচের কোনটি?
(ক) 7 (খ) 5
(গ) x5 (ঘ) x6
উত্তরঃ খ
৪. নিচের কোন জোড়া সদৃষ প্পদ নির্দেশ করে?
(ক) 2x, -7xy (খ) -3xy, 7x2y
(গ) 3x2, -7x2 (ঘ) -7x2y, 8xy2
উত্তরঃ গ
৫. M2-7 রাশিটিতে m=-6 হলে, রাশিটির মান কত?
(ক) 36 (খ) 13
(গ) -29 (ঘ) 29
উত্তরঃ ঘ
৬. a-b থেকে b-a বিয়োগ করলে, বিয়োগফল কত হবে?
(ক) a+b (খ) 0
(গ) 2a-2b (ঘ) a
উত্তরঃ গ
৭. x2+3, x2-2, -2x2+1 রাশি তিনটির যোগফল কত?
(ক) 1 (খ) 2
(গ) x2-1 (ঘ) 1-x2
উত্তরঃ খ
৮. 5x4 রাশিটিতে—
i. x এর ঘাত 4
ii. দুইটি পদ আছে
iii. x4 এর সহগ 5
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ
৯. x ও y চলকদ্বয়ের—
i. যোগফল x+y
ii. গুণফল xy
iii. বর্গের সমষ্টি x2-y2
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক
x2-y2, y2-z2 এবং z2-x2 তিনটি বীজগণিতীয় রাশির আলোকে (১০-১১) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১০. x=2 এবং y=-3 হলে ১ম রাশির মান কত?
(ক) -13 (খ) -5
(গ) 5 (ঘ) 13
উত্তরঃ খ
১১. রাশি তিনটির যোগফল কত?
(ক) 0 (খ) 2x2
(গ) 2x2+2y2+2z2 (ঘ) -2x2-2y2-2z2
উত্তরঃ ক
১২.
(i) 12x হলো x এবং 12 এর ঘাতের সমষ্টি
(ii) 4a3 রাশিটিতে a এর সূচক 3
(iii) 3x+4 রাশিতে x এর সহগ 3
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ গ
১৩.
(i) 5ax2 এবং -7x2aএ পদ দুইটি সদৃশ।
(ii) 3x2+2x+y-5x বীজগণিতীয় রাশিটিতে ৪টি পদ আছে।
(iii) a=2 এবং b=3 হলে, 4a-b এর মান হবে 5.
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ
১৪. 9x2, 8x2, 5y2 তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। তাহলে—
(১) রাশি তিনটির সাংখ্যিক সহগের যোগফল কত?
(ক) 13 (খ) 14
(গ) 17 (ঘ) 22
উত্তরঃ ঘ
(২) প্রথম দুইটি রাশির গূনফলের ঘাতের সূচক কত?
(ক) 72 (খ) 17
(গ) 4 (ঘ) 0
উত্তরঃ গ
১৫. x2+y2+z2, x2-y2+z2, -x2+y2-z2 তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। এই তথ্যের ভিত্তিতে নিচের (১) থেকে (৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
(১) প্রথম দুইটি রাশির বিয়োগফলের সাথে তৃতীয় রাশি যোগ করলে নিচের কোনটি হবে?
(ক) –x2+3y2-z2 (খ) 3x2-y2+3z2
(গ) x2-3y2+z2 (ঘ) x2+y2+z2
উত্তরঃ ক
(২) দ্বিতীয় রাশির y2 এর সহগ কত?
(ক) 0 (খ) -1
(গ) 1 (ঘ) 2
উত্তরঃ খ
(৩) রাশি তিনটির যোগফল কত?
(ক) 3x2+y2+z2 (খ) 2x2+y2+z2
(গ) x2+y2+z2 (ঘ) x2-y2+z2
উত্তরঃ গ
(৪) প্রথম দুইটি রাশির যোগফলের থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল নিচের কোনটি হবে?
(ক) 3x2+2y2-z2 (খ) 3x2-y2+3z2
(গ) x2+2y2-2z2 (ঘ )3x2+3y2+3z2
উত্তরঃ খ
যোগ কর (১৬-২৫)
প্রশ্ন: ১৬. 3a + 4b, a + 3b
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
3a + 4b
a + 3b
4a + 7b [যোগ করে]
নির্ণেয় যোগফল 4a + 7b
প্রশ্ন: ১৭. 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 6b
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
2a + 3b
3a + 5b
5a + 6b
10a + 14b [যোগ করে]
নির্ণেয় যোগফল 10a + 14b
প্রশ্ন: ১৮. 4a – 3b, – 3a + b, 2a + 3b
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
4a – 3b
– 3a + b
2a + 3b
3a + b [যোগ করে]
নির্ণেয় যোগফল 3a + b
প্রশ্ন: ১৯. 7x + 5y + 2z, 3x – 6y + 7z, – 9x + 4y + z
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
সমাধানঃ
7z+5y+2z
3x-6y+7z
-9x+4y+z
x+3y+10z
∴যোগফল=x+3y+10z
প্রশ্নঃ ২০.x2 + xy + z, 3x2 – 2xy + 3z, 2x2 + 7xy – 2z
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
x2 + xy + z
3x2 – 2xy + 3z
2x2 + 7xy – 2z
6x2 + 6xy + 2z [যোগ করে]
নির্ণেয় যোগফল 6x2 + 6xy + 2z
প্রশ্ন ২১. 4p2 + 7q2 + 4r2, p2 + 3r2, 8q2 –7p2 – r2
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
4p2 + 7q2 + 4r2
p2 + 3r2
–7p2 + 8q2 – r2
–2p2 + 15q2 + 6r2 [যোগ করে]
নির্ণেয় যোগফল –2p2 + 15q2 + 6r2
প্রশ্ন: ২২. 3a + 2b – 6c, – 5b + 4a + 3c, 8b – 6a + 4c
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
3a + 2b – 6c
4a – 5b + 3c
– 6a + 8b + 4c
a + 5b + c [যোগ করে ]
নির্ণেয় যোগফল a + 5b + c
প্রশ্ন ২৩. 2x3 – 9x2 + 11x + 5, – x3 + 7x2 – 8x – 3, – x3 + 2x2 – 4x + 1
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
2x3 – 9x2 + 11x + 5
– x3 + 7x2 – 8x – 3
– x3 + 2x2 – 4x + 1
0 + 0 – x + 3 [যোগ করে ]
নির্ণেয় যোগফল (– x + 3)
প্রশ্ন: ২৪. 5ax + 3by – 14cz, – 11by – 7ax – 9cz, 3ax + 6by – 8cz
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
5ax + 3by – 14cz
– 7ax – 11by – 9cz
3ax + 6by – 8cz
ax – 2by – 31cz [যোগ করে ]
নির্ণেয় যোগফল ax – 2by – 31cz
প্রশ্ন : ২৫. x2 – 5x + 6, x2 + 3x – 2, – x2 + x + 1, –x2 + 6x – 5
সমাধান : সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
x2 – 5x + 6
x2 + 3x – 2
– x2 + x + 1
–x2 + 6x – 5
0 + 5x + 0 [যোগ করে]
নির্ণেয় যোগফল 5x
প্রশ্ন ২৬. যদি a2 = x2 + y2 – z2, b2 = y2 + z2 – x2, c2 = x2 + z2 – y2 হয়, তবে দেখাও যে, a2 + b2 + c2 = x2 + y2 + z2.
সমাধান : দেওয়া আছে, a2 = x2 + y2 – z2
b2 = x2 + y2 + z2
c2 = x2 – y2 + z2
বামপক্ষ = a2 + b2 + c2
= (x2 + y2 – z2) + (-x2 + y2 + z2) + (x2 – y2 + z2) [মান বসিয়ে]
= x2 + y2 – z2 – x2 + y2 + z2 + x2 – y2 + z2
= x2 + y2 + z2
= ডানপক্ষ
∴ a2 + b2 + c2 = x2 + y2 + z2 [দেখানো হলো]
প্রশ্ন ২৭. যদি x = 5a + 7b + 9c, y = b – 3a – 4c, z = c – 2b + a হয়, তবে দেখাও যে, x + y + z = 3(a + 2b +2c).
সমাধান : দেওয়া আছে,
x = 5a + 7b + 9c
y = b – 3a – 4c
z = c – 2b + a
বামপক্ষ =x + y + z
= (5a + 7b + 9c) + (b – 3a – 4c) + (c – 2b + b) [মান বসিয়ে]
= 5a + 7b + 9c + b – 3a – 4c + c – 2b + a
= (5a – 3a + a) + (7b + b – 2b) + (9c – 4c + c)
= (6a – 3a) + (8b – 2b) + (10c – 4c)
= 3a + 6b + 6c
= 3(a + 2b + 2c)
= ডানপক্ষ
∴ x + y + z = 3(a + 2b + 2c) [দেখানো হলো]
বিয়োগ কর (২৮ – ৩৫) :
প্রশ্নঃ ২৮. 3a + 2b + c থেকে 5a + 4b – 2c.
সমাধান :
3a + 2b + c
5a + 4b – 2c
(–) (–) (+)
– 2a – 2b + 3c
নির্ণেয় বিয়োগফল – 2a – 2b + 3c
প্রশ্নঃ ২৯. 3ab + 6bc – 2ca থেকে 2ab – 4bc + 8ca
সমাধান :
3ab + 6bc – 2ca
2ab – 4bc + 8ca
(–) (+) (–)
ab +10bc – 10ca
নির্ণেয় বিয়োগফল ab +10bc – 10ca
প্রশ্নঃ ৩০. a2 + b2 + c2 থেকে –a2 + b2 – c2
সমাধান :
a2 + b2 + c2
–a2 + b2 – c2
(+) (–) (+)
2a2 + 0 + 2c2
নির্ণেয় বিয়োগফল 2a2 + 2c2
প্রশ্নঃ ৩১. 4ax + 5by + 6cz থেকে 6by + 3ax + 9cz
সমাধান : সদৃশ পদগুলো পর পর সাজিয়ে পাই,
4ax + 5by + 6cz
3ax + 6by + 9cz
(–) (–) (–)
ax – by – 3cz
নির্ণেয় বিয়োগফল ax – by – 3cz
প্রশ্নঃ ৩২. 7x2 + 9x + 18 থেকে 5x + 9 + 8x2
সমাধান : সদৃশ পদগুলো পর পর সাজিয়ে পাই,
7x2 + 9x + 18
8x2 + 5x + 9
(–) (–) (–)
– x2 + 4x + 9
নির্ণেয় বিয়োগফল (– x2 + 4x + 9)
প্রশ্নঃ ৩৩. 3x3y2 – 5x2y2 + 7xy + 2 থেকে –x3y2 + x2y2 + 5xy + 2
সমাধান :
3x3y2 – 5x2y2 + 7xy + 2
– x3y2 + x2y2 + 5xy + 2
(+) (–) (–) (-)
4x3y2 – 6x2y2 + 2xy + 0
নির্ণেয় বিয়োগফল 4x3y2 – 6x2y2 + 2xy
প্রশ্নঃ ৩৪. 4x2 + 3y2 + z থেকে – 2y2 + 3x2 – z
সমাধান :
4x2 + 3y2 + z
3x2 – 2y2 – z
(–) (+) (+)
x2 + 5y2 + 2z
নির্ণেয় বিয়োগফল x2 + 5y2 + 2z
প্রশ্নঃ ৩৫. x4 + 2x3 + x2 + 4 থেকে x3 – 2x2 + 2x + 3
সমাধান :
x4 + 2x3 + x2 + 4
x3 – 2x2 + 2x + 3
(–) (+) (–) (-)
x4 + x3 + 3x2 – 2x + 1
নির্ণেয় বিয়োগফল x4 + x3 + 3x2 – 2x + 1
প্রশ্নঃ ৩৬. যদি a = x2 + z2, b = y2 + z2, c = x2 + y2 হয়, তবে দেখাও যে, a + b – c = 2z2
সমাধান : দেওয়া আছে, a = x2 + z2
b = y2 + z2
c = x2 + y2
∴ বামপক্ষ = a + b – c
=x2 + z2 + y2 + z2 – (x2 + y2) [মান বসিয়ে]
=x2 + z2 + y2 + z2 – x2 – y2
= 2z2 = ডানপক্ষ
∴a + b – c = 2z2 [দেখানো হলো]
প্রশ্নঃ ৩৭. যদি x = a + b, y = b + c, z = c + a হয়, তবে দেখাও যে, x – y + z = 2a.
সমাধান : দেওয়া আছে, x = a + b, y = b + c, z = c + a
বামপক্ষ = x – y + z
= a + b – (b + c) + c + a
= a + b – b – c + c + a
= 2a = ডানপক্ষ
∴x – y + z = 2a [দেখানো হলো]
প্রশ্নঃ ৩৮. যদি x = a + b + c, y = a – b – c, z = b – c + a হয়, তবে দেখাও যে, x – y + z = a + 3b + c
সমাধান : দেওয়া আছে, x = a + b + c, y = a – b – c, z = b – c + a
বামপক্ষ =x – y + z
= a + b + c – (a – b – c) + b – c + a
= a + b + c – a + b + c + b – c + a
= a + 3b + c
= ডানপক্ষ
∴ x – y + z = a + 3b + c [দেখানো হলো]
প্রশ্নঃ ৩৯. a2, b2, c2 তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে,
(ক) b2 এর সাংখ্যিক সহগ কত?
(খ) a2 এর দ্বিগুণের সাথে c2 এর তিনগুণ যোগ কর।
(গ) a2 এর তিনগুণ থেকে b2 এর দ্বিগুণ বিয়োগ করে বিয়োগফলের সাথে c2 এর চারগুণ যোগ কর।
সমাধান :
(ক) b2 = 1 × b2
∴ b2 এর সাংখ্যিক সহগ 1
(খ) a2 এর দ্বিগুণ হলো 2a2
c2 এর তিনগুণ হলো 3c2
নির্ণেয় যোগফল 2a2 + 3c2
(গ) a2 এর তিনগুণ হলো 3a2
b2 এর দ্বিগুণ হলো 2b2
∴বিয়োগফল 3a2 – 2b2
c2 এর চারগুণ হলো 4c2
বিয়োগফলের সাথে 4c2 যোগ করলে হবে (3a2 – 2b2) + 4c2
নির্ণেয় যোগফল 3a2 – 2b2 + 4c2
প্রশ্নঃ ৪০. একটি খাতার দাম x টাকা, একটি কলমের দাম y টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম z টাকা হলে,
(ক) ৩টি খাতা ও ২টি কলমের মোট দাম কত?
(খ) ৫টি খাতা ও ৮টি পেন্সিলের মোট দাম থেকে ১০টি কলমের দাম বাদ দিলে কত হবে বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(গ) 3x – 2y + 5z দ্বারা কী বোঝায়? y ও z এর সাংখ্যিক সহগ কত? z, y ও z এর সাংখ্যিক সহগগুলোর গুণফল কত?
সমাধান:
(ক) ১ টি খাতার দামx টাকা
∴ ৩ টি খাতার দাম 3x টাকা
১ টি কলমের দাম y টাকা
∴ ২ টি কলমের দাম 2y টাকা
∴ ৩ টি খাতা ও ২টি কলমের মোট দাম (3x + 2y) টাকা (Ans.)
(খ) ১ টি খাতার দাম x টাকা
∴ ৫ টি খাতার দাম 5x টাকা
১ টি পেন্সিলের দাম z টাকা
∴ ৮ টি পেন্সিলের দাম 8z টাকা
∴ ৫ টি খাতা ও ৮টি পেন্সিলের মোট দাম (5x + 8z) টাকা
১টি কলমের দাম y টাকা
∴ ১০টি কলমের দাম 10y টাকা
৫টি খাতা ও ৮টি পেন্সিলের মোট দাম থেকে
১০টি কলমের দাম বাদ দিলে হবে {(5x + 8z) – 10y}
(গ) 3x – 2y + 5z
এখানে, 3x হলো ৩টি খাতার দাম
2y হলো ২টি কলমের দাম
5z হলো ৫টি পেন্সিলের দাম
∴ 3x – 2y + 5z দ্বারা বোঝায়,
৩টি খাতা ও ২টি কলমের দামের বিয়োগফলের সাথে ৫টি পেন্সিলের দামের যোগফল। (Ans.)
3x – 2y + 5z এ
x এর সাংখ্যিক সহগ ৩
y এর সাংখ্যিক সহগ – ২
z এর সাংখ্যিক সহগ ৫
(Ans.)
∴x, y, z এর সাংখ্যিক সহগগুলোর গুণফল
= 3 × (– 2) × 5
= – 30 (Ans.)
প্রশ্নঃ ৪১. 5x2 + xy + 3y2, x2 – 8xy, y2 – x2 + 10xy তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে,
(ক) প্রথম রাশিটির পদসংখ্যা কয়টি এবং কী কী?
(খ) রাশি তিনটি যোগ কর। যোগফলের xy এর সহগ কত?
(গ) (5x2 + xy + 3y2) – (x2 – 8xy) – (y2 – x2 + 10xy) সরল করে এর মান নির্ণয় কর; যখন x = 2 এবং y = 1.
সমাধান :
(ক) ১ম রাশি = 5x2 + xy + 3y2
রাশিটির পদসংখ্যা ৩টি (Ans.)
১ম পদ = 5x2, ২য় পদ = xy, ৩য় পদ = 3y2 (Ans.)
(খ) সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই;
5x2 + xy + 3y2
x2 – 8xy
– x2 + 10xy + y2
5x2 + 3xy + 4y2
নির্ণেয় যোগফল 5x2 + 3xy + 4y2 এবং xy এর সহগ ৩ (Ans.)
(গ) (5x2 + xy + 3y2) – (x2 – 8xy) – (y2 – x2 + 10xy)
= 5x2 + xy + 3y2 – x2 + 8xy – y2 + x2 – 10xy
= (5x2 – x2 + x2) + (xy + 8xy – 10xy) + (3y2 – y2 )
= 5x2 – xy + 2y2
= 5 × (2)2 – 2 ×1 + 2.(1)2 [Q x = 2, y = 1 ]
= 5 × 4 – 2 + 2২
= 20 – 2 + 2
= 20 (Ans.)
প্রশ্নঃ ৪২. x = (a + b)2, y = a2 + 2ab + b2, এবং z = a2 + b2 – 2ab
(ক) z পদগুলোর সাংখ্যিক সহগগুলোর যোগফল নির্ণয় কর।
(খ) y + z এবং y – z নির্ণয় কর।
(গ) a = 3 এবং b = – 2 হলে প্রমাণ কর যে, x = y
সমাধান :
(ক) দেওয়া আছে, z = a2 + b2 – 2ab
রাশিটিতে a2, b2 ও ab এর সহগ যথাক্রমে ১, ১ ও – ২
∴ সাংখ্যিক সহগগুলোর যোগফল = 1 + 1 – 2
= ০ (Ans.)
(খ) এখানে,
y = a2 + 2ab + b2
এবং z = a2 + b2 – 2ab
∴ y + z = (a2 + 2ab + b2) + (a2 + b2 – 2ab)
= a2 + 2ab + b2 + a2 + b2 – 2ab
= 2a2 + 2b2
= 2(a2 + b2) (Ans.)
এবং y – z = (a2 + 2ab + b2) – (a2 + b2 – 2ab)
= a2 + 2ab + b2 – a2 – b2 + 2ab
= 4ab (Ans.)
(গ) দেওয়া আছে, a = 3 এবং b = – 2
∴ x = (a + b)2
= {3 + (- 2)}2
= (3 – 2)2
=12 = 1
এবং y = a2 + 2ab + b2 = 32 + 2 × 3 × (- 2) + (- 2)2
= 9 – 12 + 4
= 13 – 12
=1
∴ x = y (প্রমাণিত)
