অধ্যায় ৭মঃ গুণিতক ও গুণনীয়ক | চতুর্থ শ্রেণি

অধ্যায় ৭মঃ গুণিতক ও গুণনীয়ক | চতুর্থ শ্রেণি গণিত বই সম্পূর্ণ সমাধান | Class Four(04) Math Book Solution | Chapter Seven (07) – Multipliers and Coefficients

অধ্যায় ৭মঃ গুণিতক ও গুণনীয়ক,  অনুশীলনী, সংক্ষিপ্ত ও সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর

চতুর্থ শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৭ গুণিতক ও গুণনীয়ক অনুশীলনী প্রশ্নোউত্তর সহ সংক্ষিপ্ত ও সৃজনশীল প্রশ্নোত্তর এখানে দেওয়া রয়েছে।

গাণিতিক প্রতীক

.

৭.১ গুণিতক এবং সাধারণ গুণিতক

১. নিচের সংখ্যারেখা থেকে ২ এর গুণিতকগুলোকে বৃত্তের মাধ্যমে চিহ্নিত কর। সংখ্যারেখা থেকে ৩,৪ ও ৫ এর গুণিতকগুলোকেও চিহ্নিত কর।

সমাধানঃ 

[বর্নিত সংখ্যারেখা ও এর সমাধান চিত্রে দেখানো হলো]

২. নিচের কোন সংখ্যাগুলো ৭ এর গুণিতক?

৭  ১৬  ২১  ৩২  ৬৫  ৮৪

সমাধানঃ

৭, ২১ এবং ৮৪ সংখ্যাগুলো ৭ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
সুতরাং ৭, ২১, ৮৪ সংক্যাগুলো ৭ এর গুণিতক।

৩. যে বক্সগুলোর মধ্যে চকলেট আছে তার উচ্চতা ৪ সেমি। বক্সগুলোকে স্থুপ করে রাখা হলে বক্সের সংখ্যা অনুযায়ী উচ্চতার পরিমানগুলোকে যে সংখ্যাগুলো দিয়ে প্রকাশ করা যায়, তাকে কী বলে?

সমাধানঃ

৪ সেমি বক্সগুলো একটির উপর একটি রাখলে উচ্চতা ৪ এর গুণিতক আকারে বৃদ্ধি পাবে। সুতরাং বক্সের সংখ্যা অনুযায়ী উচ্চতার পরিমানগুলোকে যে সংখ্যাগুলো দিয়ে প্রকাশ করা যায় তাকে ৪ এর গুণিতক বলে।

৪. নিচের সংখ্যার জোড়াগুলর জন্য ৩টি সাধারণ গুণিতকের তালিকা তৈরি করে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাও এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (লসাগু) লেখ।

(১) ২, ৩  (২) ৪, ৫  (৩) ১০, ৫   (৪) ৩, ৭

সমাধানঃ

(১) ২, ৩
২ এর গুণিতক ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮………
৩ এর গুণিতক  ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮……………
সুতরাং ২ ও ৩ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলোঃ ৬, ১২, ১৮…..
২ ও ৩ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক ৬
(২) ৪, ৫
৪ এর গুণিতক ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৬০………
৫ এর গুণিতক  ৫, ১০, ১৫, ২০, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০, ৫৫, ৬০……………
সুতরাং ৪ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলোঃ ২০, ৪০, ৬০…..
৪ ও ৫ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক ২০
(৩) ১০, ৫
১০ এর গুণিতকঃ ১০, ২০, ৩০…
৫ এর গুনিতকঃ ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০….
সুতরাং ১০ ও ৫ এর সাধারণ  গুণিতিকগুলো হলোঃ ১০, ২০, ৩০
সুতরাং লসাগুঃ ১০
(৪) ৩, ৭
৭ এর গুণিতকঃ ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫, ৪২, ৪৯, ৫৬, ৬৩….
৩ এর গুণিতকঃ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩…
৩ ও ৭ এর সাধারণ গুণিতকগুলোঃ ২১, ৪২, ৬৩
সুতরাং, লসাগুঃ ২১।

৫. নিচের সংখ্যাগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (লসাগু) নির্নয় কর।

(১) ৪, ৬ ও ৯  (২) ৪, ৮ ও ১২  (৩) ৪, ৫ ও ৬

সমাধানঃ

(১) ৪, ৬ ও ৯
৯ এর গুণিতকের তালিকা থেকে ৬ ও ৪ এর গুণিতক খুঁজে বের করি-
৯ এর গুণিতকঃ ৯, ১৮, ২৭, ৩৬, …………
৬ এর গুণিতকঃ x    √   x    √…………..
৪ এর গুনিতকঃ  x    x   x   √………….
সুতরাং, ৪,৬ ও ৯ এর লসাগুঃ ৩৬
(২) ৪, ৮ ও ১২
১২ এর গুণিতকের তালিকা থেকে ৪ ও ৮ এর গুণিতক খুঁজে বের করি-
১২ এর গুণিতকঃ ১২, ২৪, ৩৬, …………
৮ এর গুণিতকঃ    x    √    x…………..
৪ এর গুনিতকঃ    √    √   √…………..
সুতরাং, ৪,৮ ও ১২ এর লসাগুঃ ২৪
(৩) ৪, ৫ ও ৬
৬ এর গুণিতকের তালিকা থেকে ৫ ও ৪ এর গুণিতক খুঁজে বের করি-
৬ এর গুণিতকঃ ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০, ৩৬, ৪২, ৪৮, ৫৪, ৬০, …………
৫ এর গুণিতকঃ  x   x    x    x    √    x     x   x     x   √…………..
৪ এর গুনিতকঃ  x   √   x    √    x    √     x   √    x    √  …………..
৪, ৫ ও ৬ এর লসাগুঃ ৬০

৭.২ গুণনীয়ক ও সাধারণ গুণনীয়ক

১.  গুণনীয়ক নির্ণয় করঃ

(১) ৭  (২) ৯  (৩) ১০  (৪) ২৪  (৫) ৩৬

সমাধানঃ

(১) ৭ =১x৭
১ ও ৭ দারা ৭ নিঃশেষে বিভাজ্য
সুতরাং ৭ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৭
(২) ৯  =১x৯=৩x৩
১, ৩ ও ৯ দ্বারা ৯ নিঃশেষে বিভাজ্য।
সুতরাং ৯ এর গুণনীয়কগুলো হলোঃ ১, ৩, ৯।
(৩) ১০=১x১০=২x৫
১, ৫, ২ এবং ১০ দ্বারা ১০ নিঃশেষে বিভাজ্য।
উতরাং ১০ এর গুণনীয়ক হলোঃ ১, ২, ৫, ১০। 
(৪) ২৪ =১x২৪=২x১২=৩x৮=৪x৬
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২ এবং ২৪ দ্বারা ২৪ নিঃশেষে বিভাজ্য।
সুতরাং, ২৪ এর গুনণীয়কগুলো হলোঃ ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২ ও ২৪
(৫) ৩৬=১x৩৬=২x২৮=৩x১২=৪x৯=৬x৬
১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ দ্বারা ৩৬ নিঃশেষে বিভাজ্য।
সুতরাং ৩৬ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৩, ৪, ৯, ১২, ১৮, ৩৬।

২. সাধারণ গুণনীয়গুলোর তালিকা তৈরি কর এবং গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গসাগু) নির্ণয় কর।

(১) ১২, ২০ (২) ৫, ৮  (৩) ২৮, ৪২

(৪) ৮, ১৬, ২০ (৫) ১৫, ১৮, ৩০ (৬) ১২, ৩৬, ৬০

সমাধানঃ

(১) ১২=১x১২=২x৬=৩x৪ ও ২০=১x২০=২x১০=৪x৫
১২ এর গুণনীয়কঃ ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২
২০ এর গুণনীয়কঃ ১, ২, ৪, ৫, ১০, ২০
১২ ও ২০ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৪
এবং ১২ ও ২০ এর গসাগুঃ ৪
(২) ৫=১x৫, ৮=১x৮=২x৪
৫ এর গুণনীয়কঃ ১, ৫
৮  “”   “”          : ১, ২, ৪, ৮
৫, ৮ এর সাধারণ গুণনীয়ক হলোঃ ১
এবং গসাগু ১।
(৩) ২৮=১x২৮=২x১৪=৪x৭, ৪২=১x৪২=২x২১=৩x১৪=৬x৭
২৮ এর গুণনীয়কঃ ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
৪২ এর গুণনীয়কঃ ১, ২, ৭, ১৪
সুতরাং ২৮, ৪২ এর সাধারণ গুণনিয়কঃ ১, ২, ৭, ১৪
এবং গসাগুঃ ১৪
(৪) ৮=১x৮=২x৪, ১৬=১x১৬=২x৮=৪x৪, ২০=১x২০=২x১০=৪x৫
৮ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪,৮
১৬     “”       “  : ১,২,৪,৮,১৬
২০     “        “   : ১,২,৪,৫,১০,২০
সুতরাং, ৮,১৬ ও ২০ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৪
এবং গসাগুঃ ৪
(৫) ১৫=১x১৫=৩x৫, ১৮=১x১৮=২x৯=৩x৬, ৩০=১x৩০=২x১৫=৩x১০=৫x৬
১৫ এর গুণনীয়কঃ ১,৩,৫,১৫
১৮     “        “        : ১,২,৩,৬,৯,১৮
৩০     “        “        : ১,২,৩,৫,৬,১০,১৫,৩০
সুতরাং ১৫,১৮,৩০ এর সাধারণ গুণনীয়কঃ ১,৩
এবং গসাগুঃ ৩
(৬) ১২=১x১২=২x৬=৩x৪, ৩৬=১x৩৬=২x১৮=৩x১২=৪x৯=৬x৬, ৬০=১x৬০=২x৩০=৩x২০=৪x১৫=৫x১২=৬x১০
১২ এর গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
৩৬    “        “        : ১,২,৩,৪,৬,৯,১২,১৮,৩৬
৬০     “        “       : ১,২,৩,৪,৫,৬,১০,১২,১৫,২০,৩০,৬০
১২,৩৬ও৬০ এর সাধারোণ গুণনীয়কঃ ১,২,৩,৪,৬,১২
এবং গসাগুঃ ১২।

৭.৩ মৌলিক সংখ্যা

১. যোগিক সংখ্যা তৈরির জন্য খালিঘরে ২, ৩ ও ৫ বসাওঃ

নিচের চিত্রে সমাধান দেখানো হলোঃ

৭.৪ অনুশীলনী

১। নিচের সংখ্যাগুলোর ৩টি গুণিতক লিখে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাও :
(১) ৪ (২) ৭ (৩) ১১ (৪) ১৪

নিয়মঃ প্রদত্ত সংখ্যাটিকে ধারাবাহিকভাবে ১, ২, ৩ ….. দ্বারা গুণ করে সংখ্যাটির একাধিক গুণিতক নির্ণয় করা যায়।
(১) ৪

সমাধানঃ

৪ × ১ = ৪    ৪ × ২ = ৮      ৪ × ৩ = ১২
ছোট থেকে বড় ক্রমে ৪ এর তিনটি গুণিতক : ৪, ৮, ১২
উত্তর : ৪, ৮, ১২।
(২) ৭
সমাধানঃ
৭ × ১ = ৭ ৭ × ২ = ১৪ ৭ × ৩ = ২১
ছোট থেকে বড় ক্রমে ৭ এর তিনটি গুণিতক : ৭, ১৪, ২১
উত্তর : ৭, ১৪, ২১।
(৩) ১১

সমাধানঃ
১১ × ১ = ১১ ১১ × ২ = ২২
১১ × ৩ = ৩৩
ছোট থেকে বড় ক্রমে ১১ এর তিনটি গুণিতক : ১১, ২২, ৩৩
উত্তর : ১১, ২২, ৩৩।

(৪) ১৪

সমাধানঃ
১৪ × ১ = ১৪ ১৪ × ২ = ২৮
১৪ × ৩ = ৪২
ছোট থেকে বড় ক্রমে ১৪ এর তিনটি গুণিতক : ১৪, ২৮, ৪২
উত্তর : ১৪, ২৮, ৪২।

২. নিচের সংখ্যার জোড়্গুলোর জন্য ৩টি সাধারণ গুণিতক লিখে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাও। লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু লিখঃ

(১) ৩,৪  (২) ৪,৯  (৩) ৩,৯  (৪) ৫,৮

সমাধানঃ

ছোট থেকে বড় ক্রমে ৩ ও ৪ এর তিনটি সাধারণ গুণিতক হলো ১২, ২৪, ৩৬।
এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক হলো ১২।
∴ ৩ ও ৪ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ১২।
উত্তর : ১২, ২৪, ৩৬; লসাগু: ১২।

(২) ৪, ৯

সমাধানঃ

ছোট থেকে বড় ক্রমে ৪ ও ৯ এর তিনটি সাধারণ গুণিতক হলো ৩৬, ৭২, ১০৮। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক ৩৬
∴ ৪ ও ৯ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ৩৬
উত্তর : ৩৬, ৭২, ১০৮; লসাগু: ৩৬।

(৩) ৩, ৯

সমাধানঃ

ছোট থেকে বড় ক্রমে ৩ ও ৯ এর তিনটি সাধারণ গুণিতক হলো ৯, ১৮, ২৭। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটি হলো ৯
∴ ৩ ও ৯ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ৯
উত্তর : ৯, ১৮, ২৭; লসাগু: ৯।

(৪) ৫, ৮
সমাধানঃ

ছোট থেকে বড় ক্রমে ৫ ও ৮ এর তিনটি সাধারণ গুণিতক হলো ৪০, ৮০, ১২০। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটি হলো ৪০।
∴ ৫ ও ৮ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ৪০।
উত্তর : ৪০, ৮০, ১২০; লসাগু: ৪০।

৩. নিচের সংখ্যাগুলোর সকল গুণনীয়ক লিখঃ

(১) ৯  (২) ১২  (৩) ২৪  (৪) ৩০

সমাধানঃ

(১) ৯

সমাধানঃ

৯ = ১ × ৯
= ৩ × ৩
৯ এর গুণনীয়ক : ১, ৩, ৯
উত্তর : ১, ৩, ৯।

(২) ১২

সমাধানঃ
১২ = ১ × ১২
= ২ × ৬
= ৩ × ৪
১২ এর গুণনীয়ক : ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২।
উত্তর : ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২।

(৩) ২৪

সমাধানঃ
২৪ = ১ × ২৪
= ২ × ১২
= ৩ × ৮
= ৪ × ৬
২৪ এর গুণনীয়ক : ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪।
উত্তর : ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪।

(৪) ৩০

সমাধানঃ
৩০ = ১ × ৩০
= ২ × ১৫
= ৩ × ১০
= ৫ × ৬
৩০ এর গুণনীয়ক : ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫, ৩০।
উত্তর : ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫, ৩০।

৪. নিচের সংখ্যাগুলোর সকল সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় কর এবং প্রতিটি সংখ্যাযুগলের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি বা গসাগু লিখঃ

(১) ৯,১৫  (২) ১৪,২১  (৩) ২৪,৪০  (৪) ৫,৯

(১) ৯, ১৫

সমাধানঃ

৯ এর গুণনীয়ক : ১, ৩, ৯
১৫ এর গুণনীয়ক : ১,৩ , ৫, ১৫

৯ ও ১৫ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১ ও ৩। এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩।
∴ ৯ ও ১৫ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গ সা গু) হলো ৩।
উত্তর : ১, ৩; গসাগু: ৩।

(২) ১৪, ২১

সমাধানঃ

১৪ এর গুণনীয়ক :১ , ২, ৭, ১৪
২১ এর গুণনীয়ক :১ , ৩,৭ , ২১

১৪ ও ২১ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১ ও ৭। এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭।
∴ ১৪ ও ২১ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গ সা গু) হলো ৭।
উত্তর : ১, ৭; গসাগু: ৭।

(৩) ২৪, ৪০

সমাধানঃ

২৪ ও ৪০ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৪, ৮ এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৮।
∴ ২৪ ও ৪০ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গ সা গু) হলো ৮।
উত্তর : ১, ২, ৪, ৮; গসাগু: ৮।

(৪) ৫, ৯

সমাধানঃ
৫ এর গুণনীয়ক : ১, ৫
৯ এর গুণনীয়ক :১ , ৩, ৩

৫ ও ৯ এর মধ্যে একমাত্র সাধারণ গুণনীয়কটি হলো ১।
∴ ৫ ও ৯ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গ সা গু) হলো ১।
উত্তর : ১; গসাগু: ১।

৫. লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক(লসাগু) ও গরষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (গসাগু) নির্নয় করঃ

(১) ৮,১২,২৪  (২) ৯,১২,১৮

(১) ৮, ১২, ২৪

সমাধানঃ

৮, ১২, ও ২৪ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলো ২৪, ৪৮, ৭২ এবং আরও অনেক সংখ্যা, এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটি হলো ২৪।
∴ ৮, ১২, ও ২৪ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ২৪।
আবার

৮, ১২, ২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৪। এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়কটি হলো ৪
∴ ৮, ১২, ও ২৪ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গসাগু) হলো ৪
উত্তর : লসাগু: ২৪, গসাগু:৪

(২) ৯, ১২, ১৮
সমাধানঃ

৯, ১২ ও ১৮ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলো ৩৬, ৭২, ১০৮ এবং আরও অনেক সংখ্যা। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটি হলো ৩৬।
∴ ৯, ১২ ও ১৮ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ৩৬।
আবার,

৯, ১২ ও ১৮ এর সাধারণ গুণনিয়কগুলো হলো ১ ও ৩। এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়কটি হলো ৩।
∴ ৯, ১২ ও ১৮ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণণিয়কটি (গ সা গু) হলো ৩।
উত্তর : লসাগু: ৩৬, গসাগু: ৩।

৬. যেকোন যোগিক সংখ্যা তৈরির জন্য খালিঘুরে ২,৩ ও ৫ সংখ্যা বসাওঃ

নিচে চিত্রের মাধ্যমে সমাধান ও প্রশ্নাংশ দেখানো হলোঃ

৭. নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্য থেকে ২,৩ ও ৫ এর গুণিতক নির্ণয় করঃ

২৪৮,৩৩৯,১২১,৫১৫,৪৬০,৯১২,৭৫১,৫৫৫,৮১০,৯৫১,১৩১,৭২৫

(১) ২ এর গুণিতক

(২) ৩ এর গুণিতক
(৩) ৫ এর গুণিতক

সমাধানঃ

(১) আমরা জানি, একক স্থানে ০,২,৪,৬,৮ থাকলে সংখ্যাটি ২ এর গুণিতক হবে।
সুতরাং, ২৪৮,৯১২,৮৪১০ হল ২ এর গুণিতক।
(২) আমরা জানি, যদি কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ এর গুণিতক হয় তবে সংক্যাটিও ৩ এর গুণিতক হবে।
২৪৮ এ ২+৪+৮=১৪ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয়
৩৩৯ এ ৩+৩+৯=১৫ যা ৩ দারা বিভাজ্য
১২১ এ ১+২+১=৪ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয় নয়
৫১৫ এ ৫+১+৫=১১ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয়
৪৬০ এ ৪+৬+০=১০ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয়
৯১২ এ ৯+১+২=১২ যা ৩ দারা বিভাজ্য
৭৫১ এ ৭+৫+১=১৩ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয়
৫৫৫ এ ৫+৫+৫=১৫ যা ৩ দারা বিভাজ্য
৮১০ এ ৮+১+০=৯ যা ৩ দারা বিভাজ্য
৯৫১ এ ৯+৫+১=১৫ যা ৩ দারা বিভাজ্য
১৩১ এ ১+৩+১=৫ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয়
৭২৫ এ ৭+২+৫=১৪ যা ৩ দারা বিভাজ্য নয়
সুতরাং, ৩ এর গুণিতকঃ ৩৩৯,৯১২,৮১০,৯৫১
(৩) আমরা জানি, যে সংখ্যাগুলোর একক স্থানে ০ বা ৫ থাকে সে সংখ্যাগুলো ৫ এর গুণিতক।
সুতরাং, ৫ এর গুণিতকঃ ৫১৫,৪৬০,৫৫৫,৮১০,৭২৫

৮. দুইটি ঘন্টার মধ্যে ক ঘন্টাটি প্রতি ৮ মিনিট অন্তর এবং খ ঘন্টাটি প্রতি ৬ মিনিট অন্তর বাজে। ঘন্টা দুইটি দুপুর ১২টায় একত্রে বাজে। পরবর্তী কোন সময়ে ঘন্টা দুইটি একত্রে বাজবে?

সমাধানঃ

৮ ও ৬ এর ল সা গু যত, তত মিনিট পর ক ও খ ঘণ্টা দুইটি একত্রে বাজবে।

৮ ও ৬ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলো ২৪, ৪৮ এবং আরও অনেক সংখ্যা। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটি হলো ২৪।
∴ ৮ ও ৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ২৪।
∴ ক ও খ ঘণ্টা দুইটি একত্রে বাজবে (দুপুর ১২টা + ২৪ মি)
= দুপুর ১২টা ২৪ মি)
অতএব পরবর্তী দুপুর ১২টা ২৪ মিনিটে ঘণ্টা দুইটি একত্রে বাজবে।
উত্তর : দুপুর ১২টা ২৪ মিনিটে।

৯। আমার কাছে ৩৬ সে.মি. লম্বা ও ২৪ সেমি চওড়া একটি কাগজ আছে। আমি বর্গ আকৃতির কাগজ দিয়ে কাগজের পৃষ্টাটি ঢাকতে চাই। সম্ভাব্য সবচেয়ে বড় কগজের বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করঃ

সমাধানঃ

৩৬ ও ২৪ এর গসাগু-ই হবে নির্ণেয় সম্ভাব্য সবচেয়ে বড় বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্য।

৩৬ ও ২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২। এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়কটি হলো ১২।
∴ ৩৬ ও ২৪ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গ সা গু) হলো ১২।
সুতরাং সম্ভাব্য সবচেয়ে বড় বর্গটির বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সেমি।
উত্তর : ১২ সেমি।

১০.৭ সেমি লম্বা ও ৫ সেমি চওড়া আয়তাকার টালিকে সাজিয়ে নিচে দেখানো ছবির মতো একটি ক্ষুদ্রতম বাহু বিশিষ্ট বর্গ তৈরি করতে চাইলে কত সেন্টিমিটার বাহুবিশিষ্ট ক্ষুদ্রতম বর্গ তৈরি করা যাবে?

সমাধানঃ

৭ ও ৫ এর ল সা গু যত, তত সেমি হবে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য।

৭ ও ৫ এর সাধারণ গুণিতকগুলো হলো ৩৫, ১০৫ ও আরও অনেক সংখ্যা এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটি হলো ৩৫।
∴ ৭ ও ৫ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতকটি (ল সা গু) হলো ৩৫।
সুতরাং ৩৫ সেমি বাহুবিশিষ্ট ক্ষুদ্রতম বর্গ তৈরি করা যাবে।
উত্তর : ৩৫ সেমি।

১১। রাসেলের কাছে ৪৫টি আপেল ও ১৮টি কমলা আছে। রাসেল কোন আপেল বা কমলা অবশিষ্ট না রেখে যত বেশি সম্ভব শিশুর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিতে চায় যাতে প্রত্যেকে সমান সংখ্যক অপেল ও কমলা পায়।রাসেল কত জন শিশুর মাঝে এগুলো ভাগ করে দিতে পারবে এবং প্রত্যেক শিশু কতটি করে অপেল ও কমলা পাবে?

সমাধানঃ

৪৫ ও ১৮ এর গসাগু ই নির্ণেয় বেশি সংখ্যক শিশুর সংখ্যা।

৪৫ ও ১৮ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৯। এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়কটি হলো ৯।
∴ ৪৫ ও ১৮ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়কটি (গ সা গু) ৯
সুতরাং রাসেল ৯ জন শিশুর মাঝে আপেল ও কমলাগুলো ভাগ করে দিতে পারবে।
∴প্রত্যেক শিশু আপেল পাবে (৪৫ ÷ ৯) টি বা ৫টি এবং প্রত্যেক শিশু কমলা পাবে (১৮ ÷ ৯) টি বা ২টি।
উত্তর : ৯ জন; ৫টি আপেল, ২টি কমলা।

গুরত্বপূর্ণ কিছু তথ্য

• একটি সংখ্যা কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হলে, প্রথমটিকে অন্যটির গুণিতক বলা হয়।
• একটি সংখ্যা কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হলে, প্রথম সংখ্যাটি ভাজক ও ভাগফল প্রত্যেকের গুণিতক।
• প্রত্যেক সংখ্যা ১ এবং তার নিজেরও গুণিতক।
• প্রত্যেক সংখ্যার অসংখ্য গুণিতক রয়েছে।
• প্রত্যেক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম গুণিতক সংখ্যাটি নিজেই।
• সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতকটিকে বলা হয় লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)।
• প্রত্যেক সংখ্যা নিজেই তার একটি গুণনীয়ক।
• ১ যেকোনো সংখ্যারই একটি গুণনীয়ক।
• দুইটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক।
• দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ক্ষেত্রবিশেষে ১ হতে পারে।
• দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ক্ষেত্রবিশেষে ছোট সংখ্যাটিও হতে পারে।
• একাধিক সংখ্যার সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়কটিকে বলা হয় গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু)।
• মৌলিক সংখ্যা : মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে সকল সংখ্যা গঠনের মূল ভিত্তি। ১ এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যার ১ ও সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই, সেগুলো মৌলিক সংখ্যা। যেমন- ২, ৩, ৫ ইত্যাদি।
• যৌগিকসংখ্যা : ১ এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যার ১ ও সংখ্যাটি ছাড়া অন্তত একটি গুণনীয়ক আছে, সেগুলো যৌগিক সংখ্যা। যেমন- ১২ এর গুণনীয়ক ২, ৩, ৪, ৬। সুতরাং ১২ যৌগিক সংখ্যা।
• মৌলিক সংখ্যার গুণ দ্বারা যৌগিক সংখ্যা গঠন করা যায়।
• ১ মৌলিক সংখ্যা নয়, যৌগিক সংখ্যাও নয়।
• ২ ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা।
• ২ বাদে অন্যান্য মৌলিক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা। কিন্তু সকল বিজোড় সংখ্যা মৌলিক নয়। যেমন- ১৫ এর গুণনীয়ক ৩ ও ৫। সুতরাং ১৫ যৌগিক সংখ্যা।
• যৌগিক সংখ্যার গুণনীয়কের সংখ্যা কমপক্ষে তিনটি।
• কোনো সংখ্যা মৌলিক বা যৌগিক কি না নির্ণয়ের জন্য এমন সকল মৌলিক সংখ্যা দিয়ে সংখ্যাটির বিভাজ্যতা যাচাই করাই যথেষ্ট, যাদের বর্গ সংখ্যাটির চেয়ে বড় নয়।
• জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৪, ৬ ও ৮, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
• কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ৬৭২ এর অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৬ + ৭ + ২ = ১৫, ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৬৭২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
• কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা ৫ হলে, সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন- ১০, ১৫, ২০ দ্বারা বিভাজ্য।

৪র্থ শ্রেণির গণিত ৭ম অধ্যায় সংক্ষিপ্ত প্রশ্নোত্তর

সাধারণ
১. গুণনীয়ক কাকে বলে?
উত্তর : কোনো সংখ্যা যে যে সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, সেগুলোই ঐ সংখ্যার গুণনীয়ক।
২. গুণনীয়কের অপর নাম কী?
উত্তর : গুণনীয়কের অপর নাম উৎপাদক।
৩. কোনো সংখ্যার দুটি সাধারণ গুণনীয়ক কী কী?
উত্তর : সংখ্যাটি নিজেই এবং ১।
৪. মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?
উত্তর : ১ এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যার ১ এবং সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই, সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।
৫. যৌগিক সংখ্যা কী?
উত্তর : ১ এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যার ১ এবং সংখ্যাটি ছাড়া অন্তত একটি গুণনীয়ক আছে, সেগুলো যৌগিক সংখ্যা।
৬. ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
উত্তর : ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে ২।
৭. একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
উত্তর : একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে ২।
৮. যৌগিক সংখ্যার কমপক্ষে কয়টি উৎপাদক থাকে?
উত্তর : যৌগিক সংখ্যার কমপক্ষে তিনটি উৎপাদক থাকে।
৯. কোনো সংখ্যা তিন দ্বারা বিভাজ্য; এটি পরীক্ষার উপায় কী?
উত্তর : কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
১০. ৫ দ্বারা বিভাজ্যতার পরীক্ষার উপায় কী?
উত্তর : কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা ৫ হলে, সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
১১. গ.সা.গু. কাকে বলে?
উত্তর : দুইটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)।
১২. গ.সা.গু. এর দুটি বিশেষ ক্ষেত্র কী কী?
উত্তর :
১. দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ক্ষেত্রবিশেষে ১ হতে পারে।
২. দুইটি সংখ্যার গু.সা.গু. ক্ষেত্রবিশেষে ছোটটিও হতে পারে।
১৩. গুণিতক কাকে বলে?
উত্তর : একটি সংখ্যা কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হলে, প্রথমটিকে অন্যটির গুণিতক বলা হয়।
১৪. কোনো সংখ্যার গুণিতক সংখ্যা কতটি?
উত্তর : কোনো সংখ্যার গুণিতক সংখ্যা অসংখ্য।
১৫. ল.সা.গু. কাকে বলে?
উত্তর : কতগুলো সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোটটিকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. বলে।
 যোগ্যতাভিত্তিক
১৬. ২ অঙ্কটির দুটি উৎপাদক লেখ।
উত্তর : ১ ও ২
১৭. ০, ১, ২, ৩, ৫ ও ৭ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা কোনটি?
উত্তর : ২
১৮. ২৪ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য; এটি পরীক্ষা করা যায় কিভাবে?
উত্তর : ২৪ এর অঙ্ক ২ ও ৪ যোগ করে ৩ দ্বারা ভাগের মাধ্যমে বিভাজ্যতা পরীক্ষা করা যায়।
১৯. ১ মৌলিক না যৌগিক সংখ্যা?
উত্তর : ১ মৌলিক সংখ্যা নয়, যৌগিক সংখ্যাও নয়।
২০. ২, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. কত?
উত্তর : ল.সা.গু. ১২ এবং গ.সা.গু. ২।
২১. ১০০ ও ১২৫ সংখ্যা দুটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে, এটি কিভাবে বোঝা যাবে?
উত্তর : ১০০ ও ১২৫ সংখ্যা দুটির একক স্থানে ০ ও ৫ আছে। তাই সংখ্যা দুটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
২২. মৌলিক সংখ্যার পাঁচটি উদাহরণ লেখ ।
উত্তর : ২, ৩, ৫, ৭ ও ১১ মৌলিক সংখ্যা।
২৩. ৩টি যৌগিক সংখ্যার উদাহরণ দাও।
উত্তর : ৮, ১৬ ও ২০।

চতুর্থ শ্রেণির গণিত সপ্তম অধ্যায় কাঠামোবদ্ধ প্রশ্নোত্তর (যোগ্যতাভিত্তিক)

১। নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
১৮, ২৪ ও ৩৬ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট তিনটি সংখ্যা।
ক. উৎপাদক কাকে বলে? ২
খ. উদ্দীপকের ১ম দুটি সংখ্যার গ.সা.গু বের কর। ২
গ. উদ্দীপকের শেষের দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. কত? ২
ঘ. সংখ্যাগুলোকে ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা পরীক্ষা কর। ২
সমাধান:
ক. কোনো সংখ্যা যে যে সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, সেগুলোই ঐ সংখ্যার গুণনীয়ক। গুণনীয়ককে উৎপাদকও বলা হয়।
খ. ১৮ এর সকল গুণনীয়ক ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮।
২৪ এর সকল গুণনীয়ক ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪।
∴ ১৮ ও ২৪ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৬। গুণনীয়কগুলোর মধ্যে ৬ সবচেয়ে বড়।
নির্ণেয় গ.সা.গু = ৬।
গ. ১৮ এর গুণিতক : ১৮, ৩৬, ৫৪, ৭২
২৪ এর গুণিতক : ২৪, ৪৮, ৭২
১৮ ও ২৪ এর সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক হলো ৭২।
নির্ণেয় ল.সা.গু = ৭২।
ঘ. ১ + ৮ = ৯ ÷ ৩ = ৩; ∴ ১৮, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
২ + ৪ = ৬ ÷ ৩ = ২; ∴ ২৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ + ৬ = ৯ ÷ ৩ = ৩; ∴ ৩৬, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

২। নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
১৫, ৩০, ৪৫ ও ৬০ চারটি দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা।
ক. ১৫ ও ৩০ এর গুণনীয়ক নির্ণয় কর। ২
খ. ১৫ ও ৩০ এর গ.সা.গু নির্ণয় কর। ২
গ. ১৩ ও ৩০ এর ল.সা.গু নির্ণয় কর। ২
ঘ. সংখ্যাগুলোকে ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা পরীক্ষা কর। ২
সমাধান:
ক. ১৫ = ১ × ১৫
= ৩ × ৫
১৫ এর সকাল গুণনীয়ক ১, ৩, ৫, ১৫
৩০ = ১ × ৩০
= ২ × ১৫
= ৩ × ১০
= ৫ × ৬
৩০ এর সকল গুণনীয়ক ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫, ৩০।
খ. ১৫ এর সকল গুণনীয়ক ১, ৩, ৫, ১৫
৩০ এর সকল গুণনীয়ক ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫
১৫ ও ৩০ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১, ৩, ৫, ১৫।
এদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ১৫।
নির্ণেয় গ.সা.গু. ১৫।
গ. ১৫ এর গুণিতক : ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০,…..
৩০ এর গুণিতক : ৩০, ৬০,…..
১৫ ও ৩০ এর সবচেয়ে ছোট সাধারণ গুণিতক হলো ৩০।
নির্ণেয় ল.সা.গু. = ৩০।
ঘ. ১ + ৫ = ৬ ÷ ৩ = ২, ১৫; ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ + ০ = ৩ ÷ ৩ = ১, ৩০, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৪ + ৫ = ৯ ÷ ৩ = ৩, ৪৫, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৬ + ০ = ৬ ÷ ৩ = ২, ৬০, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।