৯ম অধ্যায়ঃ ত্রিভুজ | ৭ম শ্রেণি গণিত বই সম্পূর্ণ সমাধান | Class Seven (07) Math Book Solution | Chapter 09 : Triangles | Class 7 math book Online Solution in bangladesh (bd)
৯ম অধ্যায়ঃ ত্রিভুজ | অনুশীলনী ৯.২: ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক
৯ম অধ্যায়ঃ ত্রিভুজ | অনুশীলনী ৯.২ এর সকল প্রশ্ন ও উত্তর এখানে রয়েছে। ৭ম শ্রেণি সম্পূর্ণ গণিত বই সমাধান
৭ম শ্রেণির গণিত ৯ম অধ্যায় অনুশীলনী ৯.২ প্রশ্ন ও সমাধান
নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ১-৩ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
চিত্রে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখন্ডক। AB।। CE এবং ∠ECD=600
১. ∠BAC এর মান নিচের কোনটি?
ক. 300 খ. 450 গ. 1200 ঘ. 1200
উত্তরঃ গ
২. ∠ACD এর মান নিচের কোনটি?
ক. 600 খ. 900 গ. 1200 ঘ. 1800
উত্তরঃ গ
৩. △ABC কোন ধরনের ত্রিভুজ?
ক. স্থুলকোনী খ. সমদ্বিবাহু গ. সমবাহু ঘ. সমকোণী
উত্তরঃ গ
৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে 5 সেমি এবং 4 সেমি। ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে?
ক. 1 সেমি খ. 4 সেমি গ. 9 সেমি ঘ. 10 সেমি
উত্তরঃ খ
৫. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি 400 হলে, অপর সূক্ষ্মকোণের মান নিচের কোনটি?
ক. 400 খ. 500 গ. 600 ঘ. 1400
উত্তরঃ খ
৬. কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে?
ক. সমবাহু খ. সূক্ষ্মকোণী গ. সমকোণী ঘ. স্থুলকোণী
উত্তরঃ গ
৭. △ABC এ AB>AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমান কর যে, PB>PC.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
△ABC-এ, AB>AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় যথাক্রমে BP ও CP পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, PB>PC.
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
| ১. যেহেতু BP, ∠B এর সমদ্বিখন্ডক ∴∠PBC=1/2∠ABC এবং PC, ∠C এর সমদ্বিখন্ডক ∴∠PCB=1/2∠ACB | [কল্পনা] [কল্পনা] |
| ২. △ABC-এ, AB>AC ∴∠ACB>∠ABC বা, 1/2∠ACB>1/2∠ABC বা, ∠PCB>∠PBC ∴ PB>PC (প্রমাণিত) | [বৃহত্তম বাহুর বিপরীতকোণ বৃহত্তম] [বৃহত্তম বাহুর বিপরীতকোণ বৃহত্তম] |
৮. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর AB=AC; BC কে যেকোনো দুরত্বে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। প্রমান কর যে, AD>AB.
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর AB=AC.
BC-কে যেকোনো দূরত্ব D পর্যন্ত বাড়ানো হলো।
A, D যোগ করা হলো।
প্রমান করতে হবে যে, AD>AB.
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
| ১. △ABC এ AB=AC ∴ ∠ABC=∠ACB | [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান] |
| ২. △ABC এর বহিঃস্থ কোণ ∠ACD=∠ABC+∠BAC. | [ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] |
| ৩. সুতরাং, ∠ACD>∠ABC ∴ ∠ACD>∠ACB | [(১) থেকে] |
| ৪. ∠ACD+∠ACB=এক সরলকোণ =দুই ∠ACD এক সমকোণ | [∴∠ACB সূক্ষ্মকোণ] |
| ৫. △ACD এ ∠ACD স্থুলকোণ হলে, ∠ADC সূক্ষ্মকোণ হবে। ∴ ∠ACD>∠ADC বা, AD>AC সুতরাং, AD>AB (প্রমাণিত) | [বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর] [AC=AB] |
৯. ABCD চতুর্ভুজে AB=AD, BC=CD এবং CD>AD প্রমান কর যে, ∠DAB > ∠BCD.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজে AB=AD, BC=CD এবং CD>AD
প্রমান করতে হবে যে, ∠DAB>∠BCD.
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
| ১. CD>AD ∴∠CAD>∠ACD | [কল্পনা] |
| ২. আবার, BC=CD এবং AB=AD ∴BC>AB ∴∠BAC>∠BCA | [ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম] |
| ৩. ∠CAD+∠BAC>∠ACD+∠BCA ∴∠ DAB>∠BCD (প্রমাণিত) | [(১) ও (২) থেকে] |
১০. △ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
(ক) তথ্যের আলোকে চিত্রটি অঙ্কন কর।
(খ) দেখাও যে, AC>AB
(গ) প্রমান কর যে, AB+AC>2AD
সমাধানঃ
(ক)
প্রদত্তের আলোকে নিচের চিত্রটি আঁকা হলোঃ-
(খ)
△ABC এ ∠ABC>∠ACB.D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
দেখাতে হবে যে, AC>AB
প্রামানঃ
যদি AC>AB না হয় তবে AC=AB বা AC<AB হবে।
AC=AB হলে, ∠ABC=∠ACB হবে [কারন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয়]
কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC=AB হবে না।
আবার,
AC<AB হলে, ∠ABC<∠ACB হবে [কারন ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর হয়]
কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC<AB হবে না।
তাহলে, AC>AB হবে (দেখানো হলো)
(গ)
বিশেষ নির্বাচনঃ
△ABC এ ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
প্রমান করতে হবে যে, AB+AC>2AD.
অঙ্কনঃ
AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করি যেন AD=DE হয়। এবং E, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABD ও △DEC-এর ক্ষেত্রে,
AD=DE [অঙ্কনানুসারে]
BD=DC [প্রশ্নানুসারে]
∠ADB=∠EDC [বিপ্রতীপ কোন]
∴△ABD ≅ △DEC
∴AB=EC
এখন,
△AEC-এর ক্ষেত্রে,
AC+EC>AE
বা, AC+AB>AD+DE [∴AB=EC]
বা, AC+AB>2AD (প্রমাণিত)
১১. △ABC এ AB=AC এবং D, BC এর উপর একটি বিন্দু। প্রমান কর যে, AB>AD.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, △ABC এ AB=AC এবং D, BC এর উপর একটি বিন্দু। প্রমান কর যে, AB>AD.
অঙ্কনঃ
A, D যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABC এ AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
বা, ∠ABD=∠ACD [সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান]
আবার,
△ADC এ ∠ADB>∠ACD [বহিঃস্থ কোণ বৃহত্তর]
বা, ∠ADB>∠ABD
∴AB>AD (প্রমাণিত)
১২. △ABC এ AB⊥AC এবং D, AC এর উপর একটি বিন্দু। প্রমান কর যে, BC>BD.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
△ABC এ AB⊥AC এবং D, AC এর উপর একটি বিন্দু। প্রমান কর যে, BC>BD.
অঙ্কনঃ
B,D যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABD এ ∠BAD=এক সমকোণ। [AB⊥AC]
∴∠CAB>∠ABC [∠BDA+∠ABD=এক সমকোণ]
∠BDA একটি সূক্ষ্মকোণ
কাজেই ∠BDC একটি স্থুলকোণ।
এখন, △BDC এর বহিঃস্থ
∠BDC>∠BCD [∠BDC ও ∠BCD পূরক কোণ]
∴BC>BD. [ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম]
১৩. প্রমান কর যে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার ভূমি BC এবং অতিভুজ AC. প্রমান করতে হবে যে, AC-ই △ABC এর বৃহত্তর বাহু।
প্রমাণঃ
△ABC এ ∠ABC=এক সমকোণ।
সুতরাং, ∠BAC+∠ACB=900
বা, ∠BAC<900
বা, ∠ACB<900
ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম হয়,
এখানে বৃহত্তম কোণ 900=∠ABC যার বিপরীত বাহু অতিভুজ AC.
∴সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু (প্রমাণিত)
১৪. প্রমান কর যে, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, △ABC এর AC বৃহত্তম বাহু। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC বৃহত্তম কোণ।
প্রমাণঃ
AC>BC
∴∠ABC>∠BAC
আবার,
AC>AB
∴∠ABC>∠BCA
সুতরাং, ∠ABC ই বৃহত্তম কোন যার বিপরীত বাহু AB.
∴ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম (প্রমাণিত)
১৫. চিত্রে, ∠QPM=RPM এবং ∠QPR=900. PQ=6 সেমি
ক. ∠QPM এর মান নির্ণয় কর।
খ. ∠PQM ও ∠PRM এর মান কত?
গ. PR এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক.
দেওয়া আছে,
∠QPR=900
বা, ∠QPM+∠RPM=900
বা, ∠QPM+∠QPM=900 [∠QPM=RPM]
বা, 2∠QPM=900
বা, ∠QPM=900/2
বা, ∠QPM=450
খ.
চিত্র হতে দেখি যে, PM⊥RQ.
তাহলে,
∠QPM=900, ∠RMP=900
আবার, ∠QPM=450 (ক হতে)
এবং, ∠RPM=∠QPR-∠QPM=900-450=450
△QPM এর ক্ষেত্রে,
∠QPM+∠PQM+∠QMP=1800
বা, 900+∠PQM+450=1800
বা, ∠PQM=1800-900-450=450
আবার,
△PRM এর ক্ষেত্রে,
∠RMP+∠PRM+∠RPM=1800
বা, 900+∠PRM+450=1800
বা, ∠PRM=1800-900-450=450
গ.
দেওয়া আছে, PQ=6 সেমি।
খ থেকে পাই,
∠PQM=∠PRM=450
বা, ∠PQR=∠PRQ=450
তাহলে,
PQ=PR [সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]
বা, 6=PR
বা, PR=6 সেমি।
tags: Class 7 Math book solution BD pdf,Math lecture guide for class 7,class 7 math bd pdf,গণিত সপ্তম শ্রেণি অনুশীলনী-৯.২ ত্রিভুজের মধ্যমা উচ্চতা কোণের মান
